Yörünge Planlama ve Rampa Fonksiyonları: Hız, İvme ve Jerk Analizi
Gerçek dünyadaki birçok sistemde, özellikle hareket kontrolü, CNC makineleri, robotik uygulamalar ve animasyonlarda; bir değişkenin zamana göre düzgün ve kontrollü şekilde değişmesi istenir. Bu tür durumlarda, başlangıç ve bitiş koşullarını sağlayan rampa fonksiyonları kullanılır. Bu fonksiyonlar, sadece konumun değil, aynı zamanda türevlerinin (hız, ivme, jerk) de sürekli olmasını sağlar.
Aşağıda çeşitli derecelerden (1, 3, 5, 7) rampa fonksiyonları tanıtılmış, grafiklerle karşılaştırılmış ve her birinin başlangıç ve bitiş anlarındaki türevsel davranışları değerlendirilmiştir.
Karşılaştırmalı Özellik Tablosu
| Fonksiyon Derecesi | Baş-Son Hız \((v)\) | Baş-Son İvme \((a)\) | Baş-Son Jerk \((j)\) |
|---|---|---|---|
| 1. Derece | \(\neq 0\) | \(\neq 0\) | \(\neq 0\) |
| 3. Derece | \(= 0\) | \(\neq 0\) | \(\neq 0\) |
| 5. Derece | \(= 0\) | \(= 0\) | \(\neq 0\) |
| 7. Derece | \(= 0\) | \(= 0\) | \(= 0\) |
1. Dereceden Rampa Fonksiyonu
\( x = \frac{t-t_0}{t_1-t_0} \)
\( y = h_0 + (h_1 - h_0) x \)
- Bu fonksiyon doğrusal bir artışı temsil eder.
- Ancak hız, ivme ve jerk bir anda sıçrama gösterir.
- Başlangıç ve bitişte sürekli değil; sistemde şok etkisine neden olabilir.
Bu denklemde,
- hız \( v \neq 0 , x = 0 \wedge x = 1 \)
- ivme \( a \neq 0 , x = 0 \wedge x = 1 \)
- jerk \( j \neq 0 , x = 0 \wedge x = 1 \)
3. Dereceden Rampa Fonksiyonu
\( x = \frac{t-t_0}{t_1-t_0} \)
\( y = h_0 + (h_1 - h_0) (- 2 x^3 + 3 x^2 ) \)
- Hız başlangıçta ve bitişte sıfırdır, yani sistem durarak başlar ve durarak biter.
- Ancak ivme ve jerk süreksizlik gösterir.
- Robotik sistemlerde tercih edilir; ani hareket başlangıcı engellenmiş olur.
Bu denklemde,
- hız \( v = 0 , x = 0 \wedge x = 1 \)
- ivme \( a \neq 0 , x = 0 \wedge x = 1 \)
- jerk \( j \neq 0 , x = 0 \wedge x = 1 \)
5. Dereceden Rampa Fonksiyonu
\( x = \frac{t-t_0}{t_1-t_0} \)
\( y = h_0 + (h_1 - h_0) (6 x^5 - 15 x^4 + 10 x^3) \)
- Hem hız hem de ivme uç noktalarda sıfırdır.
- Ancak jerk sıçrama yapar.
- Daha yumuşak geçişler istenen uygulamalarda tercih edilir.
Bu denklemde,
- hız \( v = 0 , x = 0 \wedge x = 1 \)
- ivme \( a = 0 , x = 0 \wedge x = 1 \)
- jerk \( j \neq 0 , x = 0 \wedge x = 1 \)
7. Dereceden Rampa Fonksiyonu
\( x = \frac{t-t_0}{t_1-t_0} \)
\( y = h_0 + (h_1 - h_0) (-20 x^7 + 70 x^6 - 84 x^5 + 35 x^4) \)
- Hız, ivme ve jerk başlangıç ve bitişte sıfırdır.
- En yumuşak geçişi sağlar.
- Jerk'e duyarlı sistemler (örneğin yüksek hassasiyetli aktüatörler) için ideal çözümdür.
Bu denklemde,
- hız \( v = 0 , x = 0 \wedge x = 1 \)
- ivme \( a = 0 , x = 0 \wedge x = 1 \)
- jerk \( j = 0 , x = 0 \wedge x = 1 \)
Sonuç
Rampa fonksiyonlarının derecesi arttıkça, konum fonksiyonunun süreklilik ve türev sürekliliği artar. Özellikle hassasiyetin önemli olduğu sistemlerde, uygun derece seçimi kritik rol oynar. Bu analiz sayesinde, uygulamanız için en uygun hareket profilini seçmeniz kolaylaşır.