Elipsin Çevresi: Neden \(\pi (a + b)\) Hesabı Yanlıştır?
Dairenin çevresi söz konusu olduğunda durum nettir: yarıçap \(r\) için çevre \(2πr\) ile tam olarak hesaplanır. Bu netlik, çoğu zaman elips için de benzer şekilde basit bir formül arayışına yol açmıştır. Ancak elips, geometrik olarak çok daha karmaşık bir yapıya sahiptir ve çevresi kapalı formda basit bir cebirsel ifadeyle yazılamaz.
Buna rağmen literatürde ve özellikle popüler kaynaklarda sıkça şu hatalı ifadeye rastlanır:
\(\text{Çevre} = \pi (a + b)\) (Bu formülü kullanmadan önce yanlış tekrar olduğunu hatırlatalım, doğrusu için sayfada aşağıya bakınız)
Burada
- \(a\): elipsin merkezinden en uzak noktanın mesafesi (yarı büyük eksen),
- \(b\): merkezden en yakın noktanın mesafesi (yarı küçük eksen) olarak tanımlanır.
Bu formül yaklaşım bile değildir; belirli durumlarda ciddi hatalar üretir.
Elipsin Çevresinin Gerçek Türetilişi
Elipsi kartezyen düzlemde şu parametrik ifadelerle tanımlayalım:
\[ x(\theta) = a \cos\theta,\qquad y(\theta) = b \sin\theta\]
Burada \(\theta \in [0, 2\pi]\) parametresidir.
Bir eğrinin diferansiyel yay uzunluğu genel olarak
\[ ds = \sqrt{\left(\frac{dx}{d\theta}\right)^2 + \left(\frac{dy}{d\theta}\right)^2}\, d\theta \]
şeklinde tanımlanır.
Türevlerin Hesaplanması
Önce türevleri alalım:
\[ \frac{dx}{d\theta} = -a \sin\theta\]
\[ \frac{dy}{d\theta} = b \cos\theta \]
Bunları \(ds\) ifadesine yerleştirirsek:
\[ ds = \sqrt{a^2 \sin^2\theta + b^2 \cos^2\theta}\, d\theta \]
İntegralin Düzenlenmesi
Toplam çevre, \(θ=0\) ile \(2π\) arasındaki integralidir:
\[ C = \int_0^{2\pi} \sqrt{a^2 \sin^2\theta + b^2 \cos^2\theta}\, d\theta \]
Simetriden faydalanarak bu integral dörtte bire indirgenir:
\[ C = 4 \int_0^{\pi/2} \sqrt{a^2 \sin^2\theta + b^2 \cos^2\theta}\, d\theta \]
Eliptik İntegrale Dönüşüm
İfade \(a\) ortak çarpanına ayrılır:
\[ C = 4a \int_0^{\pi/2} \sqrt{1 - \left(1 - \frac{b^2}{a^2}\right)\sin^2\theta}\, d\theta\]
Burada
\[ e^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2}\]
tanımı yapılırsa:
\[ C = 4a \int_0^{\pi/2} \sqrt{1 - e^2 \sin^2\theta}\, d\theta \]
Bu integral, tanım gereği ikinci tür tam eliptik integraldir:
\[ E(e) = \int_0^{\pi/2} \sqrt{1 - e^2 \sin^2\theta}\, d\theta\]
Dolayısıyla elipsin çevresi:
\[ \boxed{C = 4a\,E(e)}\]
şeklinde yazılır.
Kritik Sonuç
Bu noktada önemli bir gerçek ortaya çıkar:
- İntegrand cebirsel görünmesine rağmen,
- İntegralin kendisi elementer fonksiyonlarla ifade edilemez.
İşte bu nedenle elipsin çevresi için
\[ \pi(a+b)\]
gibi basit ifadeler temel olarak yanlıştır; sorun hem hesap hatası hem de doğrudan matematiksel yapıdır.
Bunun hatalı olduğunu örnek bir hesaplamada görelim.
Sınır Durum:
\[ b \to 0 ,\qquad a \to 1 \]
Yani b 0'a giderken ve a 1'e giderken:
\[ C = 4a \int_0^{\pi/2} \sqrt{1 - e^2 \sin^2\theta}\, d\theta \quad\text{ve}\quad e^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2}\]
şeklindedir.
Şimdi sınır durumu inceleyelim.
Dışmerkezliğin Limiti
\[ \lim_{b \to 0} e^2 = 1 \quad\Rightarrow\quad e \to 1\]
Bu durumda integral:
\[ \int_0^{\pi/2} \sqrt{1 - \sin^2\theta}\, d\theta = \int_0^{\pi/2} \cos\theta \, d\theta\]
şekline indirgenir.
İntegralin Hesabı
\[ \int_0^{\pi/2} \cos\theta \, d\theta = \left[\sin\theta\right]_0^{\pi/2} = 1 \]
Dolayısıyla:
\[ \lim_{b \to 0} C = 4a ,\]
\(a \to 1\) Limiti
Son olarak:
\[ \lim_{a \to 1} C = 4\]
elde edilir.
Geometrik Yorum
Bu sonuç tesadüf değildir.
\[ b \to 0 \]
Toplam çevre bu nedenle:
\[ 2 + 2 = 4 \]
olur.
Son Darbe: Yanlış Formülün Çöküşü \(C = \pi (a + b)\)
Aynı sınır için hatalı formül:
\[ C = \pi (a + b) ,\]
\[ \lim_{b \to 0,\; a \to 1} C = \pi \]
sonucunu verir.
Bu çelişki, formülün yalnızca yaklaşık değil, yapısal olarak yanlış olduğunu kesin biçimde gösterir.